隐函数求导 隐函数求导公式法步骤

一、显函数与隐函数概述

函数是两个变量之间的对应关系，这种关系可以用多种方式表达。之前我们主要讨论了显函数，如：y=e^x，y=ln x，y=x^a等。显函数的特点是自变量有一个明确的表达式，当自变量在定义域内取一值时，可以通过这个表达式得到对应的函数值。

有时变量x和y之间的对应关系并非显式给出，而是通过一个方程F(x, y)在特定区间内隐含地确定y关于x的函数关系。例如，方程2x-y^3+6=0、e^xy+cos xy-3=0、ln y-ln x^y+6=0等均是在一定区间内确定隐函数的情况。当自变量x在负无穷到正无穷的范围内变化时，这些方程便确定了与之对应的隐函数。

二、隐函数的显化及导数求解

将隐函数转化为显函数的过程称为隐函数的显化。例如，方程2x-y^3+6=0可以显化为y=(6+2x)^(1/3)。但有时隐函数的显化过程可能是困难的，甚至是不可能的。隐函数表达式中通常包含变量x和y，这是由y所确定的隐函数特性。

对于隐函数的导数，我们可以通过对方程两端对自变量求导来得到。这种方法也可以被看作是微分形式的不变性原理的应用。例如，对于方程x e^y-2y+6=0，求导后得到y'的表达式y'=e^y /(2-x e^y)。

隐函数的二阶导数需要对一阶导数再次求导得到。例如，将y'的表达式代入二阶导数的求取过程中，经过化简可以得到y''的表达式。

三、隐函数及其导数的实际应用

隐函数在几何学中有着广泛的应用。在一些情况下，我们可能会遇到无法使用显函数来表示的切面和切线等问题。这时，我们需要利用隐函数的导数求解方法，来求解隐函数上的切线方程、法线方程等几何性质。隐函数为几何学提供了更多的可能性，使得我们能够更全面地研究和理解各种几何现象和问题。