逆否命题和原命题的关系 四种命题的真假关系图

反，这一数学证明的强大工具，其有效性何来？又该如何证明其本身的正确性呢？

先来简要了解一下相关背景。现代逻辑学中，我们考察证明方法的领域，通常包括命题逻辑、词项逻辑和谓词逻辑等层次。哥德尔不完全性定理这一震撼数学、逻辑学和哲学的理论，便属于谓词逻辑的范畴。

在实际应用中，我们主要在命题逻辑的层次使用反。我们在这个逻辑层次进行证明的探讨。证明的过程虽然不复杂，但需要一些基础的知识作为铺垫。

我们使用命题p表示一个陈述，能推出命题q则表示为p→q；而├ p则表示存在一个对于命题p的证明。在逻辑推理中，我们依赖一些基本法则和进行推导。

为了更好地理解反，我们需要认可一些基本定理和规则。例如，有一个被称为“演绎定理”的经典定理，它并非具体的数学定理，而是命题逻辑系统本身的定理，用于描述该系统的性质。

还有一个名为“分离规则”的推理规则也非常重要：如果已知q且q→p，则可以直接得出p。这个规则是我们进行逻辑推理时所依赖的。

还有永真式，也被称为重言式。这些是逻辑上永远为真的陈述。例如，排中律p∨¬p、同一律p→p以及双重否定律¬¬p↔p等。它们的特点是在任何逻辑情境下都为真。

接下来，我们进入反的核心讨论。其逻辑表述为：若在一个命题集中添加某个命题的否定，并从这个新的集合中推导出两个相互否定的命题，那么我们可以从原命题集中推出该命题。

下面是一个简单的证明过程（附带解释）：

已知∪{¬p}├ q和¬q，根据永真式“否定前件律”¬q→(q→p)，我们可以推导出∪{¬p}├ q和q→p。再利用分离规则，进一步推导出∪{¬p}├ p。最终，通过演绎定理和另一个永真式“否定肯定律”，我们得出结论。

这个证明过程展示了数学证明的逻辑之美。反是可靠的，除非我们质疑现有的命题逻辑体系。除了反，直接证明、逆否命题证明等也是数学认可的证明方法。

有些定理，如无理数的存在性证明或费马大定理的某些情形，只能通过反来证明。在涉及集合论及“高阶无穷大”的大多数命题中，反尤为常见。

让我们来看一个关于实数集不可数性的深刻定理的例子。这个定理的证明依赖于实数集的序完备性（即连续性或完备性），并不依赖于实数的任意q进制展开。这个简洁明了的证明是无懈可击的。

无论是菲茨帕特里克之手的证明还是其他类似的反应用案例，它们都体现了反的精髓：通过假设反面情况并推导出矛盾来证明原命题的正确性。