可去间断点的定义 判断可去间断点的方法

论对称性在傅里叶级数中的重要性。

1. 描述一种周期锯齿波形，其周期为 2n，幅度为π，并且该波形关于原点呈现奇对称的特性。

2. 该波形的傅里叶级数可以通过一个周期内的积分计算得出。此积分分为两部分，其中正周期内的积分值为零。剩余的积分部分则可通过分部积分法进行计算，将指数部分移至微分项内。

3. 利用分部积分法，我们可以将其分为两个部分。其中一部分的积分结果始终为零，而另一部分的计算结果为 jn 的倒数。这样我们便得到了周期锯齿波傅里叶级数分解的形式。

4. 若将该波形乘以 j 转化为纯虚信号，其对应的傅里叶级数分解形式将更为简洁。

5. 接下来，我们将利用上述公式绘制有限项傅里叶级数叠加的信号。将小于 N 之内的谐波进行叠加，可获得原信号的近似波形。这个叠加结果为一个纯虚信号。若仅叠加右侧半部分，所得信号将是一个复数信号。

6. 我们绘制了前 100 项的叠加结果。由于信号存在间断点，叠加信号在间断点前后会出现过冲现象。这种过冲的赋值随着叠加项数的增加逐渐趋近于一个常数，而不出现衰减。这一现象被称为“吉布斯现象”。

7. 关于半边有限项傅里叶级数叠加的实部和虚部进行分别绘制。虚部呈现锯齿波的一半形态，而实部在 t 等于零处的幅度虽增加但速度渐缓，至于其最终是收敛还是发散，还需进一步探讨。

8. 根据定义，当 t 等于零且项数趋向于无穷大时，叠加信号的实部会出现发散现象。这表明，如果是双边有限项的叠加，信号在 t 等于零处将呈现收敛状态。对于仅叠加半边有限项的傅里叶级数，其在 t 等于零处的信号居然出现发散，这构成了信号分解中的“对称破缺”现象。