自然数有几个 自然数包括零吗

在数学的世界里，自然数不仅仅代表数量，也蕴含着深厚的次序关系。序数的概念正是通过数事物的排列顺序而得以体现的，它在日常生活中与我们的认知息息相关。通过对序数的探讨，我们能够更好地理解数学的本质及其在教育中的重要性。

一．概念描述

现代数学中，序数是在进行数数时所生成的。数数即是在被数物体的集合与自然数集合之间建立一种一一对应的关系。若被数的物体为有限集合，则可与自然数集合的某个子集建立对应；若为无限集合，则与所有自然数建立对应。若物体的位置依次为：第0个、第1个、第2个、第3个，直至第n个，则0，1，2，3，直至n便成为了序数。为了应对数学的发展，学者们逐渐将自然数的基本特性抽象为公理化体系。1889年，佩亚诺首次以公理形式定义自然数，此后，雅各布森和格列尔特等人也提出了不同的公理体系。

在小学数学教材中，虽然没有明确定义序数，但它通过具体情境让学生理解自然数既可以表示“多少个”，也可以表示“第几个”。例如，“小明住在3层”，这里的3便是序数，表示“第3”。由此，当自然数用来表示物体的排列次序时，称之为序数。

二．概念解读

自然数具有基数和序数两种属性。基数关注集合中“多少个元素”，而序数则强调事物的顺序性，回答“第几个”的问题。二者相辅相成，共同反映了离散事物的计数特征。

在实际生活中，除了了解事物的数量，人们还需要对相同事物建立次序。例如，在狩猎活动中，可能需要根据猎人的身高、年龄等因素确定谁在前、谁在后。我们逐一数出物体的数量，直到第n个时，便称这个集合的序数为n。可以看到，序数不仅是一个完整有序排列中元素位置的标记，依次书写的序数便是1，2，3，…，n。

20世纪杰出的数学家冯·诺依曼用集合语言构建了自然数体系，通过简洁、明确的方式定义序数。空集Ø表示0；集合{Ø}表示1；接着，集合{Ø，{Ø}}表示2；而集合{Ø，{Ø}，{Ø，{Ø}}}则表示3。以此类推，第n个序数就是集合{0，1，2，...，n-1}，代表自然数n。这种通过构造获得的自然数，便是序数。老子在《道德经》中提到的“道生一，一生二”也与序数的构造有着内在的联系，体现了从无序到有序的发展过程。

我们可以通过集合语言将自然数以基数和序数的形式进行全面描述，二者紧密相连，构成自然数的主要特征。

三．教学建议

(1) 初步体会自然数作为序数的含义

在学习过程中，基数与序数常常是同时发展的，因此应让学生共同理解这两个概念。刘鹏老师在“10以内的数整理复习”课上设计了一系列问题情境：如“有()辆红车，有()辆黄车”，以及“两辆黄车之间有()辆红车”，最后询问“从左数，第3辆是()车”。这种情境旨在帮助学生通过具体问题理解自然数的两种含义。

(2) 提升序数的教学价值

自然数的意义不仅仅在于数量（基数），同样在于次序（序数）。正如弗赖登塔尔所说，“计数的数”（序数）对数学的发展具有更大的意义。尽管小学阶段自然数的基数与序数同样重要，但教师在教学中往往忽视了序数的深刻含义，停留在简单的“第几”的理解上。实际上，“计数的数”是探究规律的重要基础，缺少这一理解，将无法深入探讨和表述各类规律。

(3) 加强基数与序数概念的对比教学

基数与序数的紧密联系使得对比教学尤为重要。教师应引导学生在理解这两个概念的基础上进行对比练习，例如：“这一排熊猫共有（）只”与“请在第8只熊猫下画‘’”。通过提问“这里的两个8表示的意思相同吗？”使学生进一步体会：第一问中的8表示的是总数，而第二问中的8则表示的是特定位置的个体。

四．推荐阅读

(1)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第二章对自然数的概念及其特征进行了深入探讨。

(2)《小学数学课堂的有效教学》（刘加霞，北京师范大学出版社，2008）

此书对自然数教学的本质、方法和学具使用等方面进行了详细介绍，对低年级教师具有指导意义。

在数学的教学中，深入理解序数与基数的关系，不仅有助于学生全面掌握自然数的概念，也为他们今后学习其他数学知识打下坚实的基础。