n的阶乘等于多少 n!公式

[遇见数学]推出的全新系列文章:【图解概率】旨在通过生动的图像、动画和视频，帮助大家更好地理解复杂的数学概念。希望各位教师和朋友们能够给予我们更多的建议和支持！

基本计数法则

乘法法则:

在一个试验中，如果将其分为两个阶段，第一阶段有m种可能的结果，第二阶段则有n种可能的结果，那么这个试验的总结果数为m*n。举个例子，在一副扑克牌中，存在4种花色，每种花色下又有13张牌，因此通过乘法法则可以计算出不同组合的总数。

置换(Substitution)

置换是指将n个事物按照一定顺序排列。设想将3种小动物进行排列，那么可得到的排列方式有多少种呢？

如果将6种不同的小动物进行排列，则可以通过乘法法则来计算其置换的数量:

最终结果为720种排列方式:

阶乘

当一组递减的整数相乘时，我们称其为阶乘(factorial)。对n个事物的所有排列可以用阶乘公式来表示。

值得注意的是，0!=1。之前的[遇见数学]翻译组制作了一段视频，详细探讨了《为什么0!=1?》，里面给出了多种有趣的解释。

排列(Permutation)

置换是对n个事物的所有可能排列。如果是从n个事物中取出一部分进行排列，则称之为排列。以熊猫君、猪弟、猴哥和狐娘为例，如果从中选择3个进行排列，所有的排列方式如下图所示:

需要注意的是，

排列和置换均需考虑顺序

。例如，3种小动物的排列因为顺序不同而被视为不同的排列，其数量为3!=6种。

从置换的阶乘公式可得，求从n种事物中取出k种的排列总数也可以用阶乘来表示。

组合(Combination)

置换和排列都考虑了顺序，而组合

则不考虑顺序

。以之前提到的3种小动物为例，其排列虽然有多个形式，但在组合中仅算作一种。

当我们计算从4种动物中选取3种的组合时，只需进行如下步骤:

首先按排列的方式计算;

然后去掉重复的计算部分;

按照第一步进行排列计算，从熊猫君、猪弟、猴哥、狐娘中取出3个进行排列，所有可能的排列方式共计4!=24种，如下图所示:

值得注意的是，上图中的每种背景的小动物种类是相同的，只是顺序不同。以浅蓝色背景的

熊猫君、猪弟、猴哥

为例，如果考虑顺序的话，共出现6种排列，也就是3!。对于组合而言，需要将排列数除以重复倍数3!，最终得出的组合数为4。下图展示了4取3组合的结果为4:

组合的计算公式如下:

二项式定理

从n种物品中取r种的组合数通常称为二项式系数(binomial coefficient)，它在二项式定理中占有重要地位。

多项式系数

我们还能进一步推广组合公式。如果有n个对象，分为第一组n1个对象，第二组n2个对象，第三组n3个对象等，则排列的计算公式被称为多项式系数(multinomial coefficient)。

参考资料:

《程序员的数学》结城浩

《概率导论》Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis

通过本篇文章的介绍，希望大家能够更深入地理解概率和组合的基本概念。这不仅对数学学习有帮助，更能在日常生活中遇到相关问题时，给予我们清晰的思路和解决方案。