幂级数求和常用公式 幂级数的和函数公式表

近期发现了一组颇具深度的公式。

左侧是前n-1个正整数的m次幂之和的等幂求和问题，而右侧的积分值则与黎曼Zeta函数在特定负数处的取值紧密相关，具体为-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7和-8。

若我们按照公式规定的内容来简明扼要地表述这一等式组，我们可以这样描述：其中包含黎曼Zeta函数在特定负数z上的取值的表达。

在没有进行解析延拓之前，黎曼Zeta函数在负m处的初等形式是怎样的呢？我们以m值分别为1、2、3、4、5、6为例来进行说明。

关于右侧的求和结果，计算n从0到1的定积分，其值即为黎曼Zeta函数在上述负整数处的取值。

若以更通俗的方式表达，当右侧求和范围为前n个正整数的m次方时，仅需将积分范围调整为-1至0即可。

这组公式展现了数学中的对称美。对于那些具备相关数学背景的人来说，它们不仅有趣，而且易于证明。

仔细观察等式左边的取值规律，我们可以发现它遵循着“负-零-正-零”的交替变化。

在数学领域，有一个著名的数列也具有类似的性质——伯努利数。

那么，伯努利数是如何诞生的呢？它正是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利在研究等幂求和问题时提出的概念。

雅各布·伯努利是数学界的重要人物。

回溯到等幂求和问题，其实就是探讨以下表达式的计算：

这不禁让人感叹，我们又回到了原点！

伯努利数{Bn}，其中n=0, 1, 2, 3...，可以通过特定函数的泰勒展开得到。

计算前几个伯努利数的简单例子显示，从第三个伯努利数开始，它们就遵循了“正-零-负-零”的交替规律。

伯努利数正是连接黎曼函数和等幂求和问题的桥梁。

如果我们定义一个函数...

显然有...

由此...

这样的转化将等幂和问题转化为了计算函数导数的问题。

若我们注意到函数f(x)是一个等比函数序列...

接下来考虑f(x)在x=0处的泰勒展开...

由此...

进一步展开...

最终...

根据排列组合数的原理...

上式可以简化为...

考虑到伯努利数的性质...

所以上式可以继续简化为...

这就是...

让我们再次验证一下...

验证无误！

原等式可以转化为证明...

这其实是很直观的。

为了计算Re(s)＜１时黎曼Zeta函数的取值，我们可以依据以下的函数方程...

当s值为奇数如3, 5, 7等时，右侧的余弦函数取值为零。这对应于m值为偶数如2, 4, 6等情况。在这种情况下，上式成立。

对于m值为奇数如1, 3, 5等情况，令m = 2n-1，根据黎曼Zeta函数的函数方程...

在正偶数2n处，黎曼Zeta函数的值是...

代入上式进行化简，并结合2n = m+1的条件，我们可以立即得出...