约分怎么约 约分简分数怎么做

3九章算术卷第一方田——约分术

原文

在古代，数学的发展展现出人类智慧的结晶，其中的约分术便是一个典型的例子。这项技术不仅简单实用，还体现了古人对数字的深刻理解。现今，我们可以借助这些智慧，来探索约分的奥秘。

考虑分数十八分之十二，问其约分结果为多少？答案是三分之二。同样地，若分数为九十一分之四十九，经过约分，结果为十三分之七。

古人总结约分的方法是：如果分子和分母均为偶数，则可以将其各自减半；而若不是，则需要借助算筹将分子和分母重新排列，通过相减逐步寻找最大公约数，最终实现约分。

例如，对于九十一与四十九的约分过程，可以如下进行：

在此，我们需要找到91与49的最大公约数，而这一过程被称为更相减损术，或者辗转相减法。通过一系列的减法运算，最后我们确定91与49的最大公约数为7。

评议：

本节内容讲解了《九章算术》中关于约分的技巧。我们需要明确的是，约分的关键在于找到分子和分母的最大公约数。而如何找到这个最大公约数呢？古人通过发明更相减损术提供了一种有效的解决方案。深入学习这一方法后，笔者不禁感慨，古人的智慧与创造力确实令人敬佩。

1、“更相减损术”的历史与实用性

更相减损术作为古代求解最大公约数的一项重要创举，其简单性和实用性令人称道。在小学阶段，我们学习过短除法来寻找两数的最大公约数，而在大学阶段则接触过辗转相除法。通过研究《九章算术》，我们更能体会到这两者间的异同。虽然更相减损术的步骤相对繁琐，但减法运算比除法更加直观，且不必处理余数问题，最终可以快速获得结果。

更相减损术与欧几里得的辗转相减法思路相似，表明了在不同文明背景下，人类对数学问题的探索和思考展现了独特的创造性。

2、古人对数学简洁性的追求

刘徽在讨论约分时提到“繁则难用”，并通过例子说明，例如四分之二可表示为八分之四，但经过约分则简化为二分之一。由此可见，古人对于化繁为简的追求不仅体现了实用性，更展现了数学形式上的美感，这种思想与世界数学史上追求简洁的趋势是一致的。

3、分类与化归的智慧

在约分术的应用中，古人能够清楚地区分两种情况：一种是分子分母均为偶数，另一种则是它们不全为偶数。对这两种情况采用不同的处理方法，展现出古人对数学分类与化归思想的运用。这种逻辑思维能力，令现代人倍感惊叹。

4、循序渐进的教育理念

在解题时，题目[5]的分数可以通过“九九表”迅速找到最大公约数，而题目[6]则相对复杂，正好体现了古代数学教育的原则：由易到难，循序渐进。这一理念至今仍在我们的教育体系中得以延续，显示了古人与现代教育思想的深刻联系。

5、对“以少减多”的理解

在翻译“以少减多”时，笔者曾感到困惑，直到经过一番思考与讨论才逐渐理清了这一短语的含义。实际上，这是指用大数减去小数，形成了一种从多中减去少的标准，使得问题的解决方式更为清晰。

6、一点说明

关于更相减损术的数学证明，在此不作详细阐述，感兴趣的读者可以自行探索和验证。

参考文献

1、肖作政编译.《九章算术今解》.大连：辽宁人民出版社，1990

2、郭书春译注.《九章算术译注》.上海：上海古籍出版社，2009

3、钱宝琮点校.《算经十书》.北京：中华书局，2021

4、邹涌译解.《九章算术》.重庆：重庆出版社，2015