数学家的眼光
作者 | 重庆 辛酉丑
二十多年前，我便知晓张景中教授以消点法解决机器证明平面几何问题，后来又研习了他主编的《好玩的数学》丛书。我们学校使用的湘教版教材也是他主编的，却从未谋面。恰逢重庆师范大学同学告知，才得以参加他此番讲座。
会场座无虚席。大会于 8 点 50 分拉开序幕，六位来自不同地区学校的专家先后发言。间中穿插合影环节。直至 11 点后，才迎来张教授的报告。张教授主要阐述了他的教育数学思想。他提出四个“容易”：熟悉了容易、简单了容易、看清了容易、想通了容易。
张教授的报告不同于教育专家，语言朴实，没有华丽辞藻，白描风格。若由教育专家讲授此话题，或阐述什么是教育数学、其历史渊源、基本原则、研究热点、课堂实践，或如怨妇般抨击应试教育弊端、谴责教师机械刷题、狂吹只有教育数学才真正抓住了数学本质。教育专家报告常引人愤发、催眠、低头玩手机、假装上厕所外出呼吸新鲜空气。
张教授是数学院士，几句话开场，直奔主题。他认为，教育数学应从几何、代数、三角；解析几何、向量；微积分三大方向入手。张教授并非中学校教师，也不任教博士生，直接讲述如何将微积分改造为教育数学。他认为，以极限定义微积分导数、积分等概念，教师难以讲授，学生难以理解。他旨在使微积分熟悉、简单、直观、易懂。
他以瞬时速度和平均速度为例，谈及他花了 50 年才意识到二者之间的关系 —— 平均速度要么大于要么小于瞬时速度。这个朴素结论可用数学语言描述如下：
设函数和都在数集 S 上有定义，若 中的任意两点 ，总存在 中的 ，使得不等式
成立，则称 是 在数集 上的甲函数， 是 在数集 上的乙函数。上述不等式称为估计不等式.
这个看似简单的结论，张教授言称他思考了 50 年，直到 2015 年才想通。花费 50 年精力推导出一个结论，这个效率看似不高，难与教育家相比。且看那些教育家近期提出的教育新发现：有效课堂、高效课堂、卓越课堂、核心素养，比换衣服还快，俨然一场造词比赛。
张教授欲用这个极简事实在教育数学中有所突破。全球数学教材均以极限定义导数，抽象难懂；张教授以这个妇孺皆知的朴素结论定义导数，不用极限，帮助初学者理解导数，对初学者意义非凡，确实发前人之未发。50 年的艰苦历程，让我明白为何我国数学家稀缺，教育家泛滥，甚至不识字的学生家长和匆忙主妇均对教育指手画脚。
张教授不知疲倦地讲解，直至 12 点 20 分结束，其间无人玩手机，也无教师外出吸烟。我强忍尿意，不敢上厕所，唯恐遗漏要点，打断思路。下午我们与张教授一同来到重庆一中，听两位教师讲课。重庆一中 T 教师讲述《正弦函数的新装 ── 与面积的不解之缘》，谈及张教授用面积定义正弦：边长为 ，一个角为 的菱形的面积叫做 的正弦，即 。
重庆八中 S 教师讲述《向量在代数与几何问题中的应用》。随后是与会专家评课环节，最后请张教授点评。80 多岁的老人站立讲授近 50 分钟，过程中多次引起大家鼓掌致谢。我们不仅感受到张教授对数学的热爱和执着，更被他的记忆力和思维力所震撼。
先看 T 教师的课堂：
例 1.在 中，，，，求角平分线 AD 的长。
解：，，
由
例 2.直线 ，过点 P（1，1）交直线 和 轴分别于 C,B，求 最大值。
对于例 2，T 教师这样解：令过 得直线为
由题意课求出：
（1）如果
（2）如果
综上，当 时，
T 教师的解法也是中学教师最容易想到的方法，但计算量大，费时费力。
本节课展示此例题，显然适用面积法。T 教师通过复杂运算和大量板书才求出结果。在旁听时我坐在张教授身旁，见他只画了一个图，未作任何记录。点评时，他已察觉了两个例题之间的联系，在场教师无不惊叹于他的洞察力和思维能力。他的解法如下：
由例 1 解答，可以得到一般性结论：.
即，多么优美的等式！她就是传说的张角定理。
对于例 2：用上面结论可得
则
又
同理：
要求 最大值，只需求 的最大值，显然，当 即可.
这两个例题，一个平面几何问题，一个解析几何问题，为了切合课题，大家都知道用面积法，只就题论题，根本没有发现两个例题之间的联系。对于年轻的 T 教师，例题是自己选的，教学也是自己设计的，依然停留在就题论题的层次上。但年过八旬的张教授只画了一个图，未写一个字。不仅从例 1 得到了张角定理，还顺便解答了例 2。无论是思维能力还是数学眼光，都远远超越一般教师。
第二节课是重庆八中 S 教师讲授的《向量在代数与几何问题中的应用》，S 教师用几个代数题的解答来说明向量的应用。如下例题：
例 3．求证：
例 4．已知 ，求证：
以上两个例题并非难题，S 教师快速构造向量解答。评课时张教授的巧妙解答完全颠覆了常人的想象。他的解答如下：
例 3 的解：令 在 上递减，显然上市成立。
例 4 的解：令
显然上市成立。
上述解答正是张教授上午报告中提到的差商，只需研究 和 的导数即可，这也是高观点下的初等数学的一次实践。
对于两位教师课堂上的几个例题，常人看上去确实毫无联系，即便上午听了张教授的报告，依然未能发现例题之间的联系。一个人即使有健康的眼睛，也不一定有良好的数学眼光
